کتاب «آنالیز ترکیبی المپیاد» نوشته‌ی «علیرضا علیپور» در همکاری با انتشارات الگو چاپ ۱۳۹۹، برای آمادگی دانش‌آموزان در المپیاد دانش‌آموزی ریاضی برای مرحله اول به چاپ رسیده‌است. البته این مطالب پایه‌ی مطالب المپیاد مرحله دوم هم هستند. ابتدا اطلاعاتی درباره‌ی المپیاد ریاضی به شما بدهیم.
مراحل المپیاد ریاضی
هر ساله المپیادهای مختلفی اعم از ریاضی، فیزیک، شیمی، نجوم، زیست، ادبی و… در سراسر کشور برگزار میشود. دانش‌آموزان پایه‌های دهم و یازدهم دوره‌ی متوسطه‌ی دوم می‌توانند در این المپیادها شرکت کنند. امتیازهایی که مدال‌آوران المپیادها برای پذیرفته‌شدن در رشته‌ها و دانشگاه‌های برجسته کسب می‌کنند، باعث داغ شدن المپیاد در بین دانش‌آموزان شده است.
المپیاد ریاضی در ۳ مرحله برگزار میشود.
مرحلهی اول: در این مرحله که در فصل زمستان برگزار میشود، از بین تمامی دانش‌آموزان ثبت‌نامی ۱۵۰۰ نفر برتر به مرحلهی دوم راه پیدا می‌کنند. سؤالات مرحلهی اول به دو صورت سؤالات پنج گزینه‌ای و تشریحی است. در سؤالات تشریحی فقط جواب آخر را در پاسخ‌برگ وارد می‌کنید. و سؤالات پنج گزینه‌ای نمره منفی دارند. به این صورت که چهار پاسخ غلط باعث حذف یکی از پاسخ‌های درست میشود. اما سؤالات تشریحی نمره‌ی منفی ندارند. ضمن این که در این مرحله، سؤالات دهم و یازدهم تفاوتی با هم ندارند و همه‌ی سؤالات مشترک هستند. ناگفته نماند که از این ۱۵۰۰ نفر، ۶۰۰ نفر از دانش‌آموزان یازدهم و ۹۰۰ نفر نیز دانش‌آموزان دهم هستند. دانش‌آموزان دهم صرفاً برای کسب تجربه در مرحلهی دوم شرکت داده می‌شوند.
مرحله دوم: ۱۵۰۰ نفر برگزیده‌ی مرحلهی اول، در مرحلهی دوم به رقابت می‌پردازند. این مرحله در فصل بهار برگزار میشود و آزمون در دو روز متوالی که هر روز ۳ سؤال یعنی در مجموع شش سؤال تشریحی را باید پاسخگو باشند. زمان پاسخگویی به هر سؤال ۹۰ دقیقه است. یعنی روز اول و دوم هر کدام ۴ ساعت و ۳۰ دقیقه و در مجموع ۹ ساعت زمان برای پاسخگویی به این ۶ سؤال دارند. از بین ۱۵۰۰ نفر داوطلب این مرحله، ۹۰۰ دانش‌آموز دهم، به صورت آزمایشی شرکت داده می‌شوند و نمی‌توانند برای مرحلهی سوم پذیرفته شوند. اما از بین ۶۰۰ دانش‌آموز یازدهمی که در این مرحله شرکت کرده‌اند، ۴۰ نفر برتر به مرحلهی سوم می‌روند.
مرحلهی سوم: ۴۰ نفر برگزیده‌ی دانش‌آموزان یازدهم، در یک دوره‌ی دوماهه تابستانی شرکت می‌کنند. بعد از پایان این دوره‌ی دوماهه، یک آزمون برگزار میشود؛ که به ۱۲ نفر اول این آزمون، مدال طلا اعطا میشود؛ از بین این ۱۲ نفر، بعد از برگزاری چند آزمون، ۶ نفر برتر، برای شرکت در المپیاد جهانی ریاضی انتخاب می‌شوند. از شروع مرحلهی اول تا اعزام به مسابقات جهانی حدود ۱۷ ماه طول می‌کشد.
دارندگان مدال طلا، می‌توانند بدون شرکت در کنکور سراسری، در دانشگاه دلخواه خود و در رشته‌های زیرگروه مختص به خود، مشغول به تحصیل شوند. این افراد عضو بنیاد ملی نخبگان می‌شوند و می‌توانند از مزایای آن نیز بهره‌مند شوند.
کتاب آنالیز ترکیبی المپیاد انتشارات الگو
همان‌طور که در بالاتر اشاره شد، این کتاب از منابع مرحلهی اول المپیاد ریاضی است. المپیاد ریاضی در مرحلهی اول شامل مباحث آنالیز ترکیبی (ترکیبیات)، هندسه، جبر و نظریه اعداد است؛ که ۲۵ الی ۳۰ سؤال از این مباحث مطرح میشود و سؤالات به‌طور تقریباً مساوی بین این ۴ مبحث تقسیم می‌شوند. شما با این کتاب می‌توانید به مبحث آنالیز ترکیبی که یک‌چهارم مطالب مرحلهی اول المپیاد ریاضی را در برمی‌گیرد، مسلط شوید. حال به توضیح بخش‌های مختلف این کتاب می‌پردازیم.
طبقه‌بندی
کتاب آنالیز ترکیبی المپیاد از انتشارات الگو، از ۹ فصل تشکیل شده است؛ که هر فصل به چند بخش تقسیم میشود. سرفصل‌ها همراه با بخش‌های آن، به شرح زیر است:
- فصل اول: اصول شمارش (بخش اول: اصل ضرب، بخش دوم: اصل جمع، بخش سوم: اصل متمم)
- فصل دوم: جایگشت‌ها (بخش اول: فاکتوریل، بخش دوم: جایگشت‌های خطی، بخش سوم: جایگشت‌های r شیء از n شیء، بخش چهارم: جایگشت‌های دوری)
- فصل سوم: ترکیب‌ها و بسط دوجمله‌ای (بخش اول: ترکیب‌ها، بخش دوم: بسط دوجمله‌ای)
- فصل چهارم: جایگشت‌های با تکرار (بخش اول: جایگشت‌های با تکرار، بخش دوم: مسئله‌ی مسیر، بخش سوم: بسط چند جمله‌ای)
- فصل پنجم: ترکیب‌های با تکرار (بخش اول: معادله‌های خطی با ضرایب واحد، بخش دوم: ترکیب‌های با تکرار، بخش سوم: توزیع اشیاء یکسان در دسته‌های متمایز)
- فصل ششم: اصل شمول و عدم شمول (بخش اول: حالت ۲=n، بخش دوم: حالت ۳=n)
- فصل هفتم: اصل لانه کبوتری (بخش اول: صورت ساده‌ی اصل لانه کبوتری، بخش دوم: صورت تعمیم‌یافته‌ی اصل لانه کبوتری)
- فصل هشتم: استقرای ریاضی (بخش اول: استقرای ضعیف، بخش دوم: انواع دیگری از استقرای ریاضی)
- فصل نهم: پاسخ، راهنمایی و راه حل
هر بخش از هر فصل، به دو عنوان درسنامه و مسائل تقسیم می‌شوند.
درسنامه
در ابتدای هر بخش، درسنامه‌‌ی آن آمده است. درسنامه‌ها، با زبانی ساده، روان و قابل فهم ارائه شده‌اند؛ به‌طوری که دانش‌آموزان بتوانند از آن به عنوان یک کتاب خودآموز استفاده کنند. البته این کتاب برای دانش‌آموزانی که از لحاظ هوش ریاضی در سطح پایین‌تری هستند، مناسب نیست. هرچند معمولاً دانش‌آموزانی داوطلب شرکت در المپیاد ریاضی می‌شوند که از هوش ریاضی نسبتاً بالایی برخوردار باشند. روال درسنامه این‌گونه است که، ابتدا توضیحی کوتاه درباره‌ی موضوع مورد بحث آورده است؛ سپس اصل آموزش را در قالب مسائلی با راه حل‌های روان و قابل فهم، ارائه داده است. یعنی ابتدا توضیح کوتاهی می‌بینیم، بعد از آن مسائلی وجود دارد، که ذهن دانش‌آموز را برای فکر کردن روی مسائل دیگر نیز، پرورش می‌دهد. لابه‌لای این مسائل، قضیه‌هایی که برای حل مسائل لازم است، نیز آمده است.
مسائل
بعد از اتمام درسنامه و مسائل درون درسنامه در هر بخش، مسائل همان بخش آغاز میشود. تعداد این مسائل در هر بخش به تنوع سؤالات آن بخش دارد. به‌طور کلی، این کتاب مرجع کاملی برای مبحث آنالیز ترکیبی در المپیاد ریاضی است. البته این را نیز باید در نظر گرفت که گستردگی مبحث آنالیز ترکیبی بسیار زیاد است ممکن است همه‌ی مسائل این کتاب را حل کرده باشید، اما در المپیاد سؤالی را ببینید که نمونه‌ی آن را ندیده‌اید؛ بنابراین راه حل‌های این کتاب را حفظ نکنید، بلکه از این راه حل‌ها نحوه‌ی برخورد با سؤالات آنالیز را بیاموزید و اصطلاحاً ماهی‌گیری یاد بگیرید. نکته‌ی دیگر در بخش مسائل، وجود علامت «دمبل» در کنار برخی سؤالات است. این سؤالات نسبت به سایر سؤال‌ها از سطح بالاتری برخوردار هستند؛ بنابراین حل آن‌ها نیازمند درایت بیشتر دانش‌آموزان است.
پاسخ، راهنمایی و راه حل
فصل نهم این کتاب، شامل پاسخ تمامی مسائل پایان هر بخش است. این راه حل‌ها، کامل و قابل‌فهم هستند. توضیحات فارسی پاسخ‌ها، این امکان را به دانش‌آموز می‌دهد که به‌طور کامل با راهبرد حل این مسائل آشنا شود. این پاسخ‌ها به حدی کامل هستند که پاسخ برخی از سؤالات بیش از یک صفحه را به خود اختصاص داده است. محاسبات نیز به‌طور مرحله‌به‌مرحله نوشته شده است. نکته‌ی مهم این است که سؤالات آنالیز ترکیبی راه‌های زیادی دارند؛ بنابراین بعد از حل ابتدا جواب آخر را چک کنید که از درستی یا نادرستی راه حل خود مطلع شوید. بعد از آن، در صورت مغایرت راه حل، حتی در صورت درست بودن پاسخ، روش حل را به‌طور کامل بررسی کنید؛ چرا که هرچه روش‌های بیشتری برای حل بدانید، قدرت و سرعت شما در یافتن پاسخ‌ها بیشتر میشود.
چند پیشنهاد برای دانش‌آموزانی که قصد ثبت‌نام در المپیاد را ریاضی را دارند:
- برای موفقیت در المپیاد ریاضی، حل سؤالات سال‌های گذشته‌ی المپیاد را دست‌کم نگیرید. این کار بسیار تأثیرگذار خواهد بود.
- در همه‌ی ۴ موضوعی که در المپیاد مطرح میشود (آنالیز ترکیبی، هندسه، جبر و نظریه اعداد) خود را قوی کنید. تنها به یک یا دو موضوع بسنده نکنید.
- درست است که دانش‌آموزان دهم، امکان راه‌یابی به مرحلهی سوم را ندارند، اما از شرکت در المپیاد غافل نشوند. شرکت در المپیاد، تجربه‌ی بسیار خوبی برای سال آینده‌ی شما خواهد بود.
- از مباحث المپیاد نترسید! با تلاش در این راستا، طی مدت کوتاهی می‌توانید حداقل در مرحلهی اول پذیرفته شوید؛ این جمله تجربه‌ی حداقل ۵ سال تدریس من در کلاس‌های المپیاد است. به آن فکر کنید و آن را جدی بگیرید!