تحلیل دقیق سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ داخل کشور

تقریباً به عقیده‌ی همه‌ی دبیران ریاضی، مشاورین کنکور و دانش‌آموزان، درس ریاضی در کنکور ۱۴۰۰ دشوارترین درس کنکور تجربی بود. عقیده‌ی شخصی من به عنوان یک دبیر ریاضی نیز بر همین است؛ تا آنجا که باید سخت‌ترین سوالات ریاضی تجربی در ادوار مختلف کنکور را، همین سوالات کنکور ۱۴۰۰ دانست. در این مقاله به بررسی و تحلیل دقیق و یک‌به‌یکِ سوالات ریاضی کنکور تجربی می‌پردازیم و درباره‌ی هر یک سطح دشواری و مبحث را بیان می‌کنیم. فقط در نظر داشته باشید که سطح دشواری سوالات را به ترتیب زیر در نظر گرفته‌ایم:

• الف: ساده
• ب: متوسط
• ج: دشوار
• د: بسیار دشوار

لازم به ذکر است که تعیین سطح دشواری سوالات، کاملاً نظر شخصی بنده است و ممکن است دیگر اساتید و مشاوران نظر متفاوتی داشته باشند.

بررسی و تحلیل یک‌به‌یک سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰

ابتدا چند مورد را متذکر می‌شوم، سپس به سراغ سوالات می‌رویم:

• دفترچه‌ای که سوالات کنکور از آن برش داده شده، دفترچه‌ی کنکور شماره‌ی A221 است که در سایت سازمان سنجش منتشر شده است.
• تحلیل‌ها بر اساس کلید اولیه‌ی منتشر شده در سایت سازمان صورت گرفته و اگر در سوالی نظر متفاوتی داشته‌ام بیان کرده‌ام. در نظر داشته باشید که تعدادی از سوالات حذف و تعدادی دیگر فقط با تاثیر مثبت در نظر گرفته شده‌اند.
• آمار دقیقی از این که چه سوالاتی حذف و چه سوالاتی با تاثیر مثبت در نظر گرفته شده‎‌اند، وجود ندارد، پس در این باره صحبت زیادی در مقاله نشده است.

و اما بررسی سوالات…

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: توان‌های گویا و عبارات جبری (فصل سوم ریاضی دهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

این سوال ظاهر خشنی دارد، چرا که ریشه‌ی چهارم دو عبارت جبری داده شده و در ادامه با همین پارامترها، مقدار یک عبارت نسبتاً بزرگ خواسته شده است. دانش‌آموزان معمولاً با دیدن ریشه‌ی چهارم به فکر گذر از سوال می‌افتند؛ اما با اندکی درنگ می‌توان فهمید که عبارت خواسته شده دو اتحاد مربع دو جمله‌ای هستند و بعد با تجزیه‌ی آن‌ها به یک اتحاد مزدوج می‌رسیم و با ادامه‌ی محاسبات سوال حل می‌شود. بنابراین نمی‌توان سوال را دشوار دانست.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: ترکیب توان‌های گویا و عبارات جبری (فصل سوم ریاضی دهم) و ریشه‌های معادله‌ی درجه دوم (درس دوم از فصل اول ریاضی یازدهم تجربی)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

این سوال نیز ظاهر ترسناکی دارد و از سوال قبل اندکی دشوارتر است، زیرا پیدا کردن روش درست برای حل آن کمی دشوار به نظر می‌رسد. بهترین روش برای حل این سوال، ضرب تک‌تک عبارات سمت چپ معادله است. در نهایت باید در ریشه‌ی سوم مجذور X ضرب شود که تبدیل به یک معادله‌ی درجه دوم شود. مجموع ریشه‌ها نیز که با استفاده از فرمول خود در درس دوم از فصل اول کتاب ریاضی یازدهم تجربی به سادگی به دست می‌آید.

• درجه‌ی دشواری: د
• مبحث: ریشه‌های معادله‌ی درجه دوم (درس دوم از فصل اول ریاضی یازدهم تجربی)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

می‌بینید که از درس دو فصل اول ریاضی یازدهم، برای دومین بار استفاده شده که این سوال مثل سوال قبلی ترکیبی نیست و به طور مستقل از همین مبحث است. در نگاه اول سوال نسبتاً ساده‌ای است که نمونه‌ی آن را دانش‌آموزان زیاد دیده‌اند. اما اصلاً اینطور نیست و برای حل نیاز به ایده‌ای جدید دارد. همین نیاز به ایده‌ی جدید، آن را دشوار کرده است و بعد از استفاده از این ایده، حل سوال ساده می‌شود.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: مثلثات (فصل چهارم ریاضی یازدهم و فصل دوم ریاضی دوازدهم تجربی)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

اگر دانش‌آموزی نمونه‌ی این سوال را قبلاً دیده باشد، می‌داند که باید عبارت را در توان دوم sin(3x) ضرب و تقسیم کند. نکته‌ی دام‌دار سوال توان دوم و عدد ۱۶ است. دانش‌آموزان تصور می‌کنند همین ۱۶ برای جبران یک‌دوم‌های تولید شده را می‌کند، اما چون عبارات توان دو دارند، نیاز به ۱۶ دیگری نیز خواهد بود. ۱۶ موجود در مخرج گزینه‌ها، نشان از همین موضوع دارد. در ضمن نیاز به محاسبه‌ی sin(15) نیز خواهد بود.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: مثلثات (فصل چهارم ریاضی یازدهم و فصل دوم ریاضی دوازدهم تجربی)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

در این سوال طراح سعی در بازی با کمان‌های دوبرابر را داشته و گریزی نیز به مثلثات یازدهم داشته است. برای حل باید مقادیر خواسته شده با استفاده از اتحادهای مثلثاتی و یا تکنیک مثلث یافت. فقط در نظر داشته باشید که منفی در کمان cos بی‌تاثیر است.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: معادله‌ی مثلثاتی (درس دوم از فصل دوم ریاضی دوازدهم تجربی)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

برعکس ظاهر دشوار سوال، باید این سوال را جز سوالات متوسط کنکور دانست. برای حل این تست باید cos²x را به سمت راست برد و با استفاده از عدد ۱، آن را تبدیل sin²x کرد. بعد همه‌ی معادله را به یک سمت می‌بریم و از sin²x فاکتور می‌گیریم. سپس هر عبارت را به تنهایی برابر صفر قرار می‌دهیم.

• درجه‌ی دشواری: الف
• مبحث: دامنه‌ی تابع (فصل پنجم ریاضی دهم) و لگاریتم ( فصل پنجم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

برای حل این سوال بهترین روش استفاده از گزینه‌ها است. باید عددی را انتخاب کنیم که در برخی گزینه‌ها باشد و در بقیه نباشد. عدد صفر می‌تواند اولین عدد انتخابی باشد که زیر رادیکال را منفی می‌کند، پس گزینه‌های ۲ و ۴ که عدد صفر را دارند حذف می‌شوند. عدد بعدی بهتر است ۲ باشد که در گزینه‌ی ۱ نیست و در گزینه ۲ هست. عدد ۲ جلوی لگاریتم را صفر می‌کند پس جز دامنه نیست و پاسخ گزینه‎‌‌ی یک است.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: تابع جزصحیح (درس اول از فصل سوم ریاضی یازدهم) و تابع قدرمطلق (درس سوم از فصل پنجم ریاضی دهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

نباید از شکل‌های عجیب گزینه‌ها بترسید، با جایگذاری صفر در تابع، مقدار ۱- به دست می‌آید؛ که گزینه‌ی ۳ حذف می‌شود. با توجه به سایر گزینه‌ها اگر عدد ۰/۱- را امتحان کنیم، به عدد ۱ می‌رسیم، که تنها گزینه‌ی ۲ در سمت چپ نقطه‌ی صفر مقدار مثبت دارد.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: معادلات گنگ (درس دوم از فصل اول ریاضی یازدهم) و تابع
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

ظاهر سوال جدید است زیرا x بر حسب y نوشته شده است. اما با به توان دو رساندن طرفین معادله‌ی دوم، در سمت چپ x² خواهیم داشت و می‌توانیم آن را با ۲y برابر قرار دهیم. و معادله را حل کنیم. مقدار y که به دست آمد، x نیز به دست می‌آید و فاصله‌ی این نقطه تا مبدا مختصات را می‌یابیم.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: معادلات نمایی و لگاریتمی (فصل پنجم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

ظاهر شلوغ سوال حتماً باعث شده که بسیاری از داوطلبان از این سوال عبور کنند. با این که محاسبات نسبتاً زیادی دارد؛ نباید از ظاهر آن ترسید. برای حل باید از کوچک‌ترین توان صورت و مخرج فاکتور گرفت و با محاسبات به مقدار x رسید.

• درجه‌ی دشواری: د
• مبحث: انتقال تابع و رسم نمودارهای مثلثاتی (درس سوم از فصل چهارم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

این سوال را باید جدید دانست و داوطلبان کنکور ۱۴۰۰ احتمالاً مشابه آن را در کتب کمک آموزشی ندیده‌اند. بهترین روش برای این سوال، رسم تابع و سپس انتقال آن است. برای رسم این تابع باید دوره‌ی تناوب را یافت و با عددگذاری شکل نمودار را یافت.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: معادلات لگاریتمی (فصل پنجم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

این سوال را هم باید جز سوالاتی دانست که ظاهر دشواری دارد و نیاز به ایده برای حل دارد. برای حل سوال باید بدانید که دو لگاریتم موجود معکوس یکدیگرند. و با تغییر متغیر و تبدیل به معادله‌ی درجه دوم، برای متغیر جدید دو جواب به دست می‌آید که مقدار منفی آن غیرقابل قبول است.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: حد در بی‌نهایت (درس دوم از فصل سوم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

برای حل این سوال ابتدا باید برای هر رادیکال مخرج مشترک گرفت و رادیکال x را در رادیکال‌های داخلی ضرب کرد. اینجا باید با استفاده از قواعد حد در بی‌نهایت، حدگیری کنید تا به پاسخ صحیح برسید.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: حد و پیوستگی (درس دوم از فصل ششم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

این سوال را باید از ساده‌ترین سوالات ریاضی این کنکور دانست. برای حل کافی است بدانید که مقدار سینوس کمتر از یک‌دوم می‌شود و داخل جزصحیح منفی می‌شود، پس حاصل ۱- است.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: انتقال و وارون توابع
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

قرینه‌ی نمودار نسبت به خط داده شده، به معنای وارون یا معکوس تابع است. با اطلاعات داده شده تابع را تغییر می‌دهیم که تابع خواسته شده به دست آید، سپس با جایگذاری ۴ در آن، پاسخ سوال به دست می‌آید.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: ترکیب توابع و پیوستگی
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

این سوال سبک جدیدی از ترکیب توابع است که باید تابع f را تعیین علامت کنید تا بتوانید تابع gof را به دست آورید و بعد با استفاده از رسم، در ساده‌ترین حالت به پاسخ برسید. سطح دشواری سوال به این دلیل ج در نظر گرفته شده که کاملاً جدید است.

• درجه‌ی دشواری: د
• مبحث: کاربرد مشتق (فصل پنجم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

این سوال را باید ابتدا با توجه به ریشه‌های داخل قدر مطلق، چند ضابطه‌ای کرد. سپس با مشتق گیری و بررسی نقاطی که ریشه‌ی ساده هستند، و همچنین نقاط مرزی ۲ و ۲- تعداد اکسترمم‌ها را بیابیم.

• درجه‌ی دشواری: د
• مبحث: کاربرد مشتق (فصل پنجم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

متن سوال به گونه‌ای است که فهم آن آسان نیست. ابتدا باید مختصات A و تصویر آن را در نظر بگیریم و بعد با نوشتن تابع فاصله‌ی این دو نقطه و استفاده از اطلاعات سوال، قدرمطلق را برداریم. سپس با مشتق‌گیری و به دست آوردن ریشه‌ی آن و جایگذاری در تابع فاصله، پاسخ سوال را به دست آوریم.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: مشتق (فصل چهارم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

توابعی که در این سوال داده شده، ظاهر بدی دارند و بحث ترکیب تابع نیز بیان شده که آن را برای دانش‌آموزان وحشتناک‌تر می‌کند. با این وجود سوال را باید متوسط دانست اما با توجه به زمان‌بر بودن آن در سطح دشوار دسته‌بندی شده است. برای حل باید از مشتق توابع مرکب استفاده کرد.

• درجه‌ی دشواری: د
• مبحث: مشتق و مشتق‌پذیری (فصل چهارم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

یکی از سوالاتی که برای حل ممکن است هیچ ایده‌ای به ذهن دانش‌آموز نرسد همین است؛ بنابراین جز سوالات بسیار دشوار دسته‌بندی شده است. برای حل باید شروط مشتق‌پذیری، یعنی برابری مشتق چپ و راست و پیوستگی در x = k را بنویسید و سپس با جایگذاری گزینه‌ها حداکثر مقدار k را به دست آورید.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: کاربرد مشتق و بهینه سازی (فصل پنجم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

معمولاً سوالات بهینه سازی برای دانش‌آموزان دشوار است. این سوال جز سوالاتی است که نمونه‌ی آن در کتاب‌های کمک آموزشی زیاد دیده می‌شود. برای حل باید از اطلاعات کره، رابطه‌ای بین شعاع و ارتفاع کره به دست آوریم و بعد با جایگذاری در فرمول مساحت جانبی و مشتق‌گیری، بیشترین مقدار را به دست آوریم.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: احتمال شرطی (درس اول از فصل هفتم ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

به نظر می‌رسد که سازمان سنجش در کلید اولیه‌ی خود اشتباه کرده و پاسخ گزینه‌ی ۳ است. با استفاده از احتمال شرطی و فرمول آن می‌توان پاسخ سوال را به دست آورد.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: احتمال و ریشه‌های معادله‌ی درجه دوم
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

سر این سوال سروصدای زیادی بلند شد زیرا سوال آزمون دکترا بود. که البته این موضوع نمی‌تواند دلیل مناسبی برای غیراستاندارد بودن سوال باشد. برای حل اگر روابط بین ریشه‌ها را بنویسم، با پیدا کردن حالت‌ها به جواب می‌رسیم.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: شمارش، بدون شمردن (فصل ششم ریاضی دهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

سوال ۱۴۹، سوال متوسطی است، هرچند که میزگرد از کتاب درسی حذف شده است. برای حل باید ابتدا ۴ دانش‌آموز دوازدهم (یا یازدهم) بنشینند که !۳ حالت دارد. سپس در ۴ جای خالی بین آن‌ها باید ۴ دانش‌آموز دیگر بنشینند؛ که تعداد حالت‌ها !۴ است. ضرب این دو عدد پاسخ سوال است. عده‌ی زیادی از دانش‌آموزان به گزینه‌ی ۲ رسیده‌اند زیرا، برای اولین چیدمان به این فکر کرده‌اند که یازدهمی‌ها یا دوازدهمی‌ها می‌توانند بنشینند، اما چون میزگزد است، این دو حالت مانند هم هستند و نیازی به در نظر گرفتن دو حالت متفاوت نیست.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: احتمال
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

این سوال نامفهوم و عجیب است. احتمالاً این سوال جز سوالاتی که سازمان سنجش آن را یا حذف کرده و یا به صورت تاثیر مثبت با نظر طراح در نظر گرفته است. به طور کلی بسیاری از دبیران ریاضی معتقدند این سوال نامفهوم و غلط است. البته می‌شد با فرض عدد ۵ رقمی این سوال را حل کرد که در این صورت دشوار محسوب می‌شد.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: هندسه تحلیلی (درس اول از فصل اول ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۳

این سوال، سوال خیلی دشواری نبود اما برای حل نیاز به زمان است. روش حل به این صورت است که ابتدا معادله‌ی خطوط شامل AB و BC (عمود بر هم) را می‌نویسیم. محل تقاطع این دو خط نقطه‌ی B را نشان می‌دهد. با یافتن طول اضلاع، محیط به دست می‌آید.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: هندسه تحلیلی (درس اول از فصل اول ریاضی یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۲

در این سوال ابتدا باید اندازه‌ی ارتفاع AH را پیدا کرد. سپس باید دید کدام نقطه در گزینه‌ها به از H به همین فاصله است و روی خط عمود بر خط داده شده در صورت سوال است. زمان‌بر بودن سوال دشواری آن را بیشتر کرده است.

• درجه‌ی دشواری: ب
• مبحث: هندسه و دایره (فصل ششم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

این سوال بسیار ساده بود که اگر دانش‌آموز روش حل سوال را می‌دانست، می‌توانست با نگاه و زیر ۳۰ ثانیه به سوال پاسخ دهد. اما از آنجایی که وتر مشترک دو دایره در کتاب درسی نیامده، آن را جز سوالات متوسط دسته‌بندی می‌کنم. برای حل باید یک طرف هر دو معادله را صفر کرد و با هم برابر قرار داد. هرچه که باقی ماند، معادله‌ی وتر مشترک دایره است.

• درجه‌ی دشواری: الف
• مبحث: هندسه و قضیه‌ی تالس (درس دوم از فصل دوم هندسه یازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۱

این سوال روشی کاملاً مشخص دارد و با استفاده از قصیه‌ی تالس و نوشتن یک رابطه‌ی جز به کل سوال جل می‌شود. تنها مساله در حل سوال، دو مجهولی بودن آن است.

• درجه‌ی دشواری: ج
• مبحث: هندسه (فصل دوم هندسه یازدهم) و مثلثات (فصل دوم ریاضی دوازدهم)
• کلید اولیه‌ی سازمان سنجش: ۴

در این سوال باید با استفاده از زاویه‌های ۱۵ و ۷۵ درجه و مقدار نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها که برای آن نیز باید از فرمول‌های مثلثاتی استفاده کنید و پاسخ را به دست آورید. جالب‌تر این که پاسخ صحیح در گزینه‌ها نیست!!!! جواب درست مانند گزینه‌ی ۴ است با این تفاوت که باید در مخرج آن ۲ ضرب کنیم.

آمار کلی و پیش‌بینی کنکور ۱۴۰۱

از ۳۰ سوال ریاضی رشته‌ی تجربی دو سوال که اشتباه بود، دو سوال دیگر نیز خارج از مباحث کتاب درسی بود که در تحلیل‌ها بیان شد. در جدول تعداد سوالات از هر سطح مشخص شده است:

نکته‌ی عجیب دیگری که وجود دارد، بودجه‌بندی این آزمون بود. از فصل آمار هیچ سوالی مطرح نشد، در صورتی که سال‌های قبل یک یا دو سوال داشت، یا مثلاً از بخش هندسه تحلیلی (درس اول از فصل اول ریاضی یازدهم) دو سوال مطرح شد که قبلاً یا سوالی نداشت و یا حداکثر یک سوال داشت. بنابراین دیگر نمی‌توان به بودجه‌بندی سال‌های گذشته اعتماد کرد. برای کنکور ۱۴۰۱ باید منتظر همین سطح دشواری (البته دشواری منطقی‌تر و در چهارچوب کتاب درسی) بود. زیرا کنکور ۹۹ نیز ریاضی سختی داشت. دو سال پشت سر هم دشوار، این نوید را می‌دهد که در ادامه سوالات همین‌طور خواهند بود. به بودجه‌بندی‌های منتشر شده نیز اعتماد نکنید، زیرا ممکن است مثل همین کنکور همه‌چیز به یک‌باره عوض شود. سعی کنید همه‌ی مطالب را به صورت عمیق و مفهومی بخوانید تا بتوانید از پس سوالات دشوار نیز برآیید. تست‌های ترکیبی را نیز از یاد نبرید. همانطور که می‌بینید تعداد قابل توجهی از سوالات ترکیبی بودند.